不是钙奶，是判别法 AD审敛

前言

这个东西算是数学分析里的常客了，算算到目前为止也出现了3次。但是总感觉这一套听起来有点不是那么自然（相比于 Cauchy 和 d’Alembert 等这些证明过程直接、思路流畅的），这直接导致的后果就是让初见者对它印象不深、容易遗忘等。

但AD审敛法说穿了也就是一种相乘求和式的收敛规则，再怎么讲也没办法转化为多么直观的东西，所以此博客一是为了我自己加深印象，二是希望能让看博客的你有那么一点点新感触，仅此而已。

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简介

Abel-Dirichlet 判别法在数学分析的三个地方出现过：反常积分收敛判断、数项级数收敛判断、函数项级数一致收敛判断。这里以数项级数为例来详细讲讲，其它两种其实都可以看成自然而然的推广形式。

数项级数中它的定义如下：

$\{a_n\}$ 单调有界，$\{\sum\limits_{i=1}^nb_n\}$ 有界. 再添加如下条件之一都可得到 $\{\sum\limits_{i=1}^na_ib_i\}$ 收敛.

$1.\ \textbf{(Abel)}\ \sum\limits_{i=1}^{\infty}b_i\ 收敛.$

$2. \ \textbf{(Dirichlet)}\ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=0.$

这里我为了下面的解释方便所以稍微整理了一下定理的形式，所以和教科书上有点不一样。

当然干看这个肯定还是比较难受的，下面我们在推导过程中详细剖析一下它的道理。

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推导

为什么要有那两个前置条件？

其实这个前置条件是我整理得到的，也就是 Abel 和 Dirichlet 它们共同要求的性质。

那么它们为什么不约而同都会需要这些呢？有界可能好理解，因为可以进行放缩；那单调又算怎么回事？

我们首先要弄清楚AD判别法是为了干什么。既然叫判别法，肯定是为了判断——判断数列是否收敛。更准确地，AD专门判断形如两个数列对应项乘起来得到的级数的收敛情况，即如下的乘积形式：$\sum_{i=1}^na_ib_i$

由于我们只关心它收不收敛，不关心它收敛到哪（至少在这个问题上我们是不关心的），所以我们直接采用柯西收敛原理。这个定理的好处在于我们可以仅通过级数本身判断其收敛情况，而不用关心极限点。

也就是说，我们要得到如下形式的不等式：

$$\sum_{i=n+1}^ma_ib_i \le \varepsilon$$

我们的目标就是给这两个数列加上一定的条件，使得它满足柯西条件，进而能判断它收敛。不过只是这个形式并不好操作——求和号的存在极大限制了我们进行分析，大神Abel提供了一种很棒的变形思路，能帮助我们处理这个式子：

(定理) Abel变换:

$$\sum_{i=1}^na_ib_i = a_nB_n-\sum_{i=1}^{n-1}(a_{i+1}-a_i)B_i$$

其中 $B_i=\sum_{j=1}^i b_j$ 即 b 的前 n 项和。

你可能会觉得这样变换反而增加了复杂度，能有什么好处？但事实上，观察后面那一项式子，我们发现出现了 $a_{i+1}-a_i$ 这样的差分形式，这种东西在求和时很有希望能临项相消掉，有助于我们去掉求和符号。

这个变换其实是个很初等的变换，只是写成了这样的形式不太好看出来。事实上它可以理解成“离散分部积分公式”——只要把求前 n 项和当成积分，差分形式当成微分就好。

此外还有个很直观的理解，可以看下面这张图。

然后为了让 $\sum_{i=1}^{n-1}(a_{i+1}-a_i)B_i$ 能够临项相消，我们需要想办法去掉 B 。这里我们添加条件：数列 $\{B_i\}$ 有界，使得我们可以直接放掉。

有界除了有“把数列放缩成常数”这种作用外，还起到限制规模的效果——也就是说界永远是确定的数，这样如果能产生 $M\varepsilon$ 这种式子，我们的目的也达到了（其中 M 是界，也就是我们常说的 $ \varepsilon$ 可以乘上一个倍数这个道理）

假设 $\exists M > 0,\ \forall n,\ B_n \le M$，那么

$$\sum_{i=1}^na_ib_i = a_nB_n-\sum_{i=1}^{n-1}(a_{i+1}-a_i)B_i \le a_nB_n+\sum_{i=1}^{n-1}a_{i+1}-a_iB_i \le M(a_n+\sum_{i=1}^{n-1}a_{i+1}-a_i)$$

然后我们发现加了加了绝对值后出现了一个尴尬的事：$a_{i+1}-a_i$ 邻项是消不掉的。怎样去掉绝对值号呢？我们添加条件：数列 $a_i$ 单调，这样就使得

$$\sum_{i=1}^{n-1}a_{i+1}-a_i=\sum_{i=1}^{n-1}(a_{i+1}-a_i)=a_n-a_1$$

这样原式就可以放缩为

$$\sum_{i=1}^na_ib_i \le M(a_n+a_n-a_1) \le M(a_1+2a_n)$$

考虑我们使用的是柯西收敛原理，所以应该是

$$\sum_{i=n+1}^{n+p}a_ib_i \le M(a_{n+p}+a_{n+p}-a_{n+1}) \le M(a_{n+1}+2a_{n+p})$$

注意此时起点变到了 n+1，因此 B 的定义也要改写一下

$$B_i=\sum_{j=n+1}^{n+i}b_j$$

同时新的 B 的界也会改变

$$B_i=\sum_{j=n+1}^{n+i}b_j=\sum_{j=1}^{n+i}b_j-\sum_{j=1}^{n}b_j \le 2M$$

这下就方便我们继续添加约束了。此时 B 已经被我们放缩成有界量，而我们肯定不希望 $a_{n+1}$ 和 $a_{n+p}$ 无界，因此我们再添加条件：数列 $a_i$ 有界，为了区分两个界，分别记为 $M_a,\ M_B$，放缩结果就是

$$\sum_{i={n+1}}^{n+p}a_ib_i \le 6M_aM_B$$

接下来为了达成柯西列条件，我们只需要让 $M_a$ 或者 $M_B$ “变成” $\varepsilon$。

如果想让 $M_a$ 变，就需要添加条件：$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=0$，也即 Dirichlet 收敛准则，这是因为只要 n 足够大，$a_{n+1},\ a_{n+p}$ 都能小于 $\varepsilon$；

如果想让 $M_B$ 变，就需要添加条件：$\sum\limits_{i=1}^{\infty}b_i$ 收敛，也即 Abel 收敛准则，这是因为此时根据柯西收敛原理，当 n 足够大时可以有 $ B_i < \varepsilon $。

至此，我们相对自然地引入了A-D判别法。

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其它

都是一家之言，大家选择性吸收就好，笔误欢迎指正！